समूहों के औसत को उनके वास्तविक हर के साथ जोड़ें
अलग आकार वाले समूहों का संयुक्त औसत 15 के बजाय 18 क्यों है, इसे एक छोटे Python उदाहरण से समझें।
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संक्षिप्त उत्तर
एक जैसी प्रेक्षण राशियों के अंकगणितीय औसत जोड़ने के लिए हर समूह के औसत को उन प्रेक्षणों की संख्या से भार दें जो वास्तव में उस औसत में शामिल थे। दो प्रेक्षणों वाले समूह का औसत 10 और आठ प्रेक्षणों वाले समूह का औसत 20 हो, तो संयुक्त औसत (2*10 + 8*20)/10 = 18 है। दोनों औसतों का बिना भार वाला औसत 15 है और वह अलग प्रश्न का उत्तर देता है। हर प्रकाशित औसत के साथ उसका हर भी रखें, विशेष रूप से जब अनुपलब्ध मानों को गणना से बाहर किया गया हो।
पहचानें कि किस राशि का औसत लिया जा रहा है
सारांश जोड़ने से पहले पुष्टि करें कि वे एक ही राशि का वर्णन करते हैं, उनकी इकाइयाँ समान हैं और प्रेक्षण शामिल करने के नियम संगत हैं। सेकंड में मापा गया प्रतिक्रिया समय मिलीसेकंड में दिए गए समय के साथ सीधे नहीं जोड़ा जा सकता; पहले इकाइयाँ बदलनी होंगी। प्रति प्रेक्षण औसत और प्रति समूह औसत को भी अलग समझें। दोनों उपयोगी हो सकते हैं, लेकिन छोटे और बड़े समूह को दिए जाने वाले महत्व में अंतर होता है।
हर औसत में इस्तेमाल हुआ हर सुरक्षित रखें
अंकगणितीय औसत को उसके प्रेक्षणों की संख्या से गुणा करने पर समूह का कुल योग वापस मिलता है, हालाँकि पूर्णांकन से थोड़ी त्रुटि रह सकती है। अलग और संगत समूहों के योग जोड़कर उन्हें कुल प्रेक्षण संख्या से भाग देने पर संयुक्त औसत मिलता है। संख्या उन्हीं प्रेक्षणों की होनी चाहिए जो गणना में शामिल हुए थे। यदि विभाग के कुछ ही सदस्यों ने मापा गया मान दिया था, तो विभाग के सभी सदस्यों की संख्या सही हर नहीं है।
अलग आकार वाले समूहों का उदाहरण निकालें
समूह A की संख्या 2 और औसत 10, इसलिए उसका योग 20 है। समूह B की संख्या 8 और औसत 20, इसलिए उसका योग 160 है। दोनों योग जोड़ने पर संयुक्त योग 180 मिलता है, और 10 प्रेक्षणों पर विभाजित करने पर संयुक्त औसत 18 आता है। 10 और 20 का सीधा औसत 15 इसलिए अलग है क्योंकि वह दोनों समूहों को बराबर भार देता है, जबकि वास्तव में एक समूह में 2 प्रेक्षण हैं और दूसरे में 8। ये काल्पनिक सारांश अंतर समझाने के लिए हैं, किसी देखे गए डेटासेट या बेंचमार्क का दावा नहीं करते।
Python में छोटी गणना करें
Python 3.11 और बाद के संस्करणों में statistics.fmean भार स्वीकार करता है। नीचे दिए उदाहरण में औसत और उनसे मेल खाने वाली प्रेक्षण संख्याएँ दी गई हैं; अपेक्षित मान 18.0 है। यह कोड किसी डेटासेट को प्राप्त नहीं करता और यह भी नहीं जाँचता कि संख्याएँ सही ढंग से एकत्र की गई थीं। इसे दिए गए इनपुट की गणना समझें। यदि लेखांकन में सटीक दशमलव चाहिए, तो संख्यात्मक निरूपण पर अलग से विचार करें; हर मान के लिए फ्लोटिंग-पॉइंट परिणाम को बिल्कुल सटीक न मानें।
from statistics import fmean
group_means = [10, 20]
observed_counts = [2, 8]
combined_mean = fmean(group_means, weights=observed_counts)
print(combined_mean)
प्रतिशतों को संगत संख्याओं से जोड़ें
मान लें कि एक समूह में 2 प्रयासों में 1 सफलता और दूसरे में 8 प्रयासों में 4 सफलताएँ हैं। संयुक्त सफलता अनुपात 5/10 अर्थात 50 प्रतिशत है। सामान्य रूप से सफलताओं और प्रयासों की मूल संख्याएँ रखें; हर के बिना दिखाए गए प्रतिशतों का औसत न लें। यदि प्रयास की परिभाषाएँ अलग हैं या समूहों में वही प्रेक्षण दोबारा आते हैं, तो साधारण संयुक्त व्याख्या सही नहीं होगी। मूल संख्याएँ रखने से दिखाने के लिए पूर्णांकित प्रतिशतों में खोई जानकारी का कुछ हिस्सा भी बचता है।
अनुपलब्ध प्रेक्षणों के लिए एक ही नियम अपनाएँ
अनुपलब्ध मान हटाकर निकाले गए औसत के साथ उसी चर और उसी समावेशन नियम के अंतर्गत उपलब्ध प्रेक्षणों की संख्या होनी चाहिए। एक समूह में भी अलग स्तंभों की मान्य प्रेक्षण संख्या अलग हो सकती है। pandas का mean अनुपलब्ध मान छोड़ सकता है, इसलिए सभी पंक्तियों की संख्या अपने आप सही भार नहीं बन जाती। यदि कुछ प्रकार के प्रेक्षण व्यवस्थित रूप से अनुपलब्ध हैं, तो सही अंकगणित भी आँकड़ों के प्रतिनिधित्व की समस्या दूर नहीं करता।
अनजाने में बराबर भार देने की गलती पहचानें
जब संयुक्त परिणाम अप्रत्याशित लगे, तो सूत्र बदलने से पहले हर औसत, उसकी प्रेक्षण संख्या और वापस निकाला गया कुल योग लिखें। जाँचें कि प्रश्न समूहों को बराबर महत्व देता है या प्रत्येक प्रेक्षण को। समूह के स्तर पर स्पष्ट रूप से पूछे गए प्रश्न के लिए समूह औसतों को बराबर भार देना उचित हो सकता है। समूहों के आकार बराबर हों तो परिणाम संयुक्त औसत से भी मेल खा सकता है। लेकिन आकार अलग होने पर इसे बिना बताए सभी प्रेक्षणों का औसत नहीं कहना चाहिए।
सारांशों को जोड़ने की सीमाएँ समझें
माध्यिकाओं का अंकगणितीय भारित औसत संयुक्त माध्यिका नहीं देता। गति जैसी दरों के लिए अलग सूत्र चाहिए हो सकता है; यह इस बात पर निर्भर करता है कि समय या दूरी जैसी कौन-सी मात्रा स्थिर रखी गई है। आपस में मिले हुए समूह एक प्रेक्षण को कई बार गिन सकते हैं। पूर्णांकित औसत से योग वापस निकालने में त्रुटि आती है और कुल भार शून्य होने पर संयुक्त औसत परिभाषित नहीं रहता। जहाँ संभव हो, मूल योग और संख्याएँ रखें तथा बताएँ कि सारांशों में कौन-सी जानकारी मौजूद नहीं है।
क्या जाँचें
- इकाइयाँ और शामिल करने के नियम जाँचें।
- हर औसत के साथ वास्तव में उपलब्ध प्रेक्षणों की संख्या रखें।
- प्रेक्षण के स्तर और समूह के स्तर के प्रश्नों में अंतर करें।
- प्रतिशत जोड़ते समय मूल अंश और हर की संख्याएँ रखना बेहतर है।
- माध्यिकाओं को औसत के सूत्र से न जोड़ें।
उपयोग की सीमाएँ
संयुक्त गणना में संगत अंकगणितीय औसत, उनसे मेल खाने वाली संख्याएँ और अनजाने में दोहरी गिनती न होना आवश्यक है। यह अनुपलब्ध आँकड़ों से उत्पन्न पक्षपात नहीं मिटाती, संयुक्त माध्यिका नहीं निकालती और हर प्रकार की दर के लिए सही सूत्र निर्धारित नहीं करती। Python में भार वाला यह उदाहरण Python 3.11 या बाद के संस्करण के लिए है।